Problema - calcolare angolo alla circonferenza
Qual è l'ampiezza di un angolo alla circonferenza che insiste su un arco che supera i 2/3 della circonferenza di 1/5 della circonferenza stessa?
Facendo riferimento alla figura, la traccia ci chiede di calcolare l'angolo alla circonferenza \(\alpha\), sapendo che
\(AB = \dfrac{2}{3}\cdot 2\pi r + \dfrac{1}{5}\cdot 2\pi r = \left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{5}\right)\cdot 2\pi r = \dfrac{13}{15} \cdot 2\pi r.\)
dove \(AB\) è la misura dell'arco su cui insiste l'angolo alla circonferenza \( \alpha\), mentre \(2\pi r\) è la misura della circonferenza, con \(r =\) raggio.
Consideriamo l'angolo al centro \(\beta\) che insiste sullo stesso arco \(AB\). Poichè ogni angolo al centro è il doppio del corrispondente angolo alla circonferenza, si ha che \(\beta = 2\cdot \alpha\). Ricordiamo anche che sussiste la seguente proporzione tra l'angolo al centro di una circonferenza e l'arco su cui esso insiste:
\(\beta:AB=360^{\circ}:2\pi r; \)
Utilizzando le relazioni che abbiamo calcolato prima, possiamo sostituire i valori di \(\beta\) e di \(AB\) nella proporzione:
\(2\alpha:\dfrac{13}{15}\cdot 2\pi r = 360^{\circ}:2\pi r,\)
da cui si ha:
\(2\alpha = \dfrac{13}{15} \cdot \dfrac{2\pi r}{2\pi r} 360^{\circ} \);
\(2\alpha = \dfrac{13}{15} 360^{\circ} \Rightarrow \alpha = \dfrac{13}{2\cdot 15} 360^{\circ} =156^{\circ} \)
Pertanto, l'angolo alla circonferenza \(\alpha\) è uguale a \(156^{\circ} \).