Un prisma retto ha per base un triangolo rettangolo avente l'ipotenusa di 10 cm e un cateto di 8 cm. Sapendo che l'altezza del prisma misura 36 cm, calcola l'area laterale e l'area totale.
Scriviamo i dati del problema facendo riferimento alla seguente figura:
utilizzando questi dati dobbiamo calcolare l'area laterale (\(A_{laterale}\)) e totale (\(A_{tot}\)) del prisma.
CALCOLO PERIMETRO DELLA BASE
Applicando il teorema di Pitagora (il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti) al triangolo rettangolo \(ABC\) possiamo calcolare il cateto \(\overline{AC}\):
\(\overline{AC} = \sqrt{\overline{AB}^{2} - \overline{BC}^{2}};\)
\(\overline{AC} = \sqrt{\left(10^{2} - 8^{2}\right)\text{ cm}^2};\)
\(\overline{AC} = \sqrt{\left(100 - 64\right)\text{ cm}^2} = \sqrt{36\text{ cm}^2} = 6 \text{ cm}; \)
\(\overline{AC} = 6 \text{ cm}. \)
Il perimetro del triangolo \(ABC\) è :
\(P_{ABC} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{AC} = \left(10 + 8 + 6\right)\text{ cm} = 24\text{ cm}. \)
CALCOLO AREA LATERALE
Per calcolare l'area della superficie laterale bisogna moltiplicare il perimetro del triangolo \(ABC \) per l'altezza del prisma:
\(A_{laterale} = P_{ABC}\cdot \overline{AD} = \left(24\cdot 36\right)\text{ cm}^{2} = 864\text{ cm}^{2}. \)
CALCOLO AREA TOTALE
Calcolo l'area del triangolo \(ABC \):
\(A_{ABC} = \dfrac{\overline{AC}\cdot \overline{BC}}{2} = \dfrac{6\cdot 8}{2}\text{ cm}^{2} = 24\text{ cm}^{2}. \)
L'area del triangolo \(DEF\) è uguale a quella del trinagolo \(ABC\) perchè i due triangoli sono uguali per costruzione:
\(A_{DEF} = A_{ABC} = 24\text{ cm}^{2}. \)
Adesso possiamo calcolare l'area totale del prisma che è uguale all'area laterale + l'area del triangolo \(ABC \) + l'area del triangolo \(DEF\):
\(A_{tot} = A_{laterale} + A_{ABC} + A_{DEF} = \left(864+24+24\right)\text{ cm}^{2} = 912\text{ cm}^{2}. \)