Problema - Prisma retto con base triangolo isoscele (Calcolo Volume)
La base di un prisma retto è un triangolo isoscele che ha il lato obliquo di 34 dm e la base di 32 dm. Sapendo che l'altezza del prisma misura 50 dm, qual è il volume del solido?
Scriviamo i dati del problema facendo riferimento alla seguente figura:
- \( \overline{AC} = \overline{BC} = 34\text{ dm};\)
- \(\overline{AB}= 32\text{ dm}; \)
- \(\overline{AD} = 50\text{ dm}\) (altezza prisma);
utilizzando questi dati dobbiamo calcolare il volume del prisma.
Ricordiamo che il volume del prisma si calcola moltiplicando l'area della base (\(A_{ABC}\)) per l'altezza (\(\overline{AD}\)) del prisma:
\(V = A_{ABC}\cdot\overline{AD}.\)
Dato che l'altezza del prisma la conosciamo, dobbiamo calcolare soltanto l'area della base. Poiché la base è un triangolo isoscele, l'altezza \(\overline{CH}\) divide il lato \(\overline{AB}\) in due parti uguali, quindi:
\(\overline{AH}=\overline{BH}=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{32\text{ dm}}{2}=16\text{ dm}. \)
L'altezza \( \overline{CH} \) del triangolo \(ABC\) può essere calcolata applicando il teorema di Pitagora (il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti) al triangolo rettangolo \(ACH\):
\(\overline{CH} = \sqrt{\overline{AC}^{2} - \overline{AH}^{2}} = \sqrt{\left(34^2 - 16^2\right)\text{ dm}^2}= \)
\( = \sqrt{\left(1156 - 256\right)\text{ dm}^2} = \sqrt{900\text{ dm}^2} = 30\text{ dm}; \)
\(\overline{CH} = 30\text{ dm}. \)
Adesso possiamo calcolare l'area (\(A_{ABC}\)) del triangolo isoscele \(ABC\):
\(A_{ABC}=\dfrac{\overline{AB}\cdot\overline{CH}}{2}=\dfrac{32\text{ dm}\cdot30\text{ dm}}{2}=480\text{ dm}^2. \)
Il volume del prisma è uguale a:
\(V = A_{ABC}\cdot\overline{AD} = \left(480\cdot 50\right)\text{ dm}^3 = 24000\text{ dm}^3 .\)