Un prisma retto ha per base un triangolo rettangolo con un cateto e l'ipotenusa lunghi rispettivamente 42 cm e 58 cm. Sapendo che l'altezza del prisma è i 5/7 del cateto maggiore, calcola l'area della superficie totale del prisma.
Scriviamo i dati del problema facendo riferimento alla seguente figura:
utilizzando questi dati dobbiamo calcolare l'area totale (\(A_{tot}\)) del prisma.
CALCOLO CATETO \(AC\)
Applicando il teorema di Pitagora (in un triangolo rettangolo l'ipotenusa elevata al quadrato è uguale alla somma dei cateti elevati al quadrato) al triangolo rettangolo \(ABC\), possiamo calcolare il cateto \(\overline{AC}\):
\(\overline{AC} = \sqrt{\overline{AB}^{2}-\overline{BC}^{2}};\)
\(\overline{AC} =\sqrt{\left(58^{2} - 42^{2}\right)\text{ cm}^2};\)
\(\overline{AC} = \sqrt{\left(3364 - 1764\right)\text{ cm}^2} =\sqrt{1600\text{ cm}^2} = 40\text{ cm};\)
\(\overline{AC} = 40\text{ cm}.\)
CALCOLO PERIMETRO DEL TRIANGOLO \(ABC\)
\(P_{ABC} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{AC} = \left(58 + 42 + 40\right)\text{ cm} = 140 \text{ cm}.\)
CALCOLO AREA DEL TRIANGOLO \(ABC\)
\(A_{ABC} = \dfrac{\overline{AC}\cdotp\overline{BC}}{2} = \dfrac{40\cdotp42}{2}\text{ cm}^{2} = 840\text{ cm}^{2}.\)
L'area del triangolo \(DEF\) è uguale a quella del trinagolo \(ABC\) perchè i due triangoli sono uguali per costruzione:
\(A_{DEF} = A_{ABC} = 840\text{cm}^{2}. \)
CALCOLO AREA LATERALE PRISMA
L'altezza \(\overline{AD}\) del prisma può essere calcolata utilizzando il dato (4):
\(\overline{AD} = \dfrac{5}{7}\overline{BC} =\dfrac{5}{7}42\text{ cm} = 30\text{ cm};\)
Per calcolare l'area della superficie laterale bisogna moltiplicare il perimetro del triangolo \(ABC\) per l'altezza del prisma:
\(A_{laterale} = P_{ABC}\cdot\overline{AD} = \left(140\cdot 30\right)\text{ cm}^{2} = 4200\text{ cm}^{2}.\)
CALCOLO AREA TOTALE PRISMA
Adesso possiamo calcolare l'area totale del prisma che è uguale all'area laterale + l'area del triangolo \(ABC\) + l'area del triangolo \(DEF\):
\(A_{tot} = A_{laterale} + A_{ABC} + A_{DEF}; \)
\(A_{tot} = \left(4200+840+840\right)\text{ cm}^{2} = 5880\text{ cm}^{2}.\)