Problema - Prisma con base triangolo rettangolo isoscele
Un prisma retto, alto 44 cm, ha per base un triangolo rettangolo isoscele. Sapendo che il volume è 22528 cm^3, calcola il perimetro di base.
Scriviamo i dati del problema facendo riferimento alla seguente figura:
- \(B\hat{A}C = E\hat{D}F =90^{\circ}; \)
- \(\overline{AB} = \overline{AC} \) perché cateti di un triangolo rettangolo isoscele;
- \(V = 22528\text{ cm}^3 \) (volume prisma);
- \(\overline{AD} = 44\text{ cm}\) (altezza) ;
utilizzando questi dati dobbiamo calcolare il perimetro di base (\(P_{ABC}\)) del prisma.
CALCOLO AREA DI BASE
Ricordiamo che il volume di un prisma si calcola moltiplicando l'area della base (\(A_{ABC}\)) per l'altezza del prisma:
\(V = A_{ABC}\cdot \overline{AD}. \)
Il volume del prisma e la sua altezza li conosciamo, quindi possiamo calcolare l'area di base (\(A_{ABC}\)) utilizzando la seguente formula inversa:
\(A_{ABC} = \dfrac{V}{\overline{AD}}= \dfrac{22528\text{ cm}^3}{44\text{ cm}}=512\text{ cm}^2. \)
CALCOLO CATETI TRIANGOLO RETTANGOLO
L'area di un triangolo rettangolo isoscele è uguale ad un cateto elevato al quadrato diviso 2:
\(A_{ABC} = \dfrac{\overline{AB}^2}{2}; \)
L'area di base la conosciamo, quindi possiamo applicare la formula inversa per calcolare il cateto \(\overline{AB}\):
\(\overline{AB} = \sqrt{2\cdot A_{ABC}} = \sqrt{2\cdot 512\text{ cm}^2} = 32\text{ cm}. \)
Di conseguenza anche l'altro cateto sarà uguale a \(32\text{ cm} \):
\(\overline{AC} = \overline{AB} = 32\text{ cm}. \)
CALCOLO IPOTENUSA TRIANGOLO RETTANGOLO
Ricordiamo che l'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele è uguale ad un cateto moltiplicato per \(\sqrt{2}\):
\(\overline{BC} = \overline{AB}\cdot \sqrt{2} = 32 \cdot \sqrt{2} \text{ cm}. \)
CALCOLO PERIMETRO DI BASE DEL PRISMA
A questo punto possiamo calcolare il perimetro di base del prisma:
\(P_{ABC} = \overline{AB} + \overline{BC} +\overline{AC} = \left(32 + 32 + 32 \cdot \sqrt{2} \right)\text{ cm} = 109,2548 \text{ cm}. \)