Un prisma che ha per base un pentagono regolare ha l'area della superficie regolare di 480 cm^2. Sapendo che l'altezza è 3/2 dello spigolo di base, calcola l'area della superficie totale e il volume.
Scriviamo i dati del problema facendo riferimento alla seguente figura:
Il problema ci chiede di calcolare l'area totale ed il volume del prisma. Cominciamo a calcolare l'area totale ricordando che essa può essere calcolata utilizzando la seguente formula:
\(A_{totale}=2\cdot A_{base} + A_{laterale}=2\cdot A_{base} + P_{base}\cdot h, \)
dove l'unico dato che non abbiamo è il perimetro del pentagono \(P_{base}\).
CALCOLO PERIMETRO DEL PENTAGONO
Il perimeto del pentagono può essere calcolato utilizzando la formula inversa per il calcolo dell'area di un pentagono:
\(A_{base} = \dfrac{P_{base}\cdot a}{2} \Rightarrow P_{base} = \dfrac{2\cdot A_{base}}{a};\)
dove con \(a\) si indica l'apotema del pentagono, che sappiamo essere legata al lato dalla seguente relazione:
\(a=l\cdot 0.688\);
quindi applicando la formula inversa per il calcolo dell'area del pentagono possiamo calcolare il suo perimetro:
\(P_{base} = \dfrac{2\cdot A_{base}}{a} = \dfrac{2\cdot 480\text{ cm}^2}{l\cdot 0.688} = \dfrac{1395,3488372093\text{ cm}^2}{l}. \)
Abbiamo così trovato il perimetro in funzione del lato \(l\).
CALCOLO AREA TOTALE PRISMA
Sostituiamo il perimetro trovato nella formula dell'area totale:
\(A_{totale} = 2\cdot A_{base} + P_{base}\cdot h; \)
\(A_{totale} = 2\cdot 480\text{ cm}^2 + \dfrac{1395,3488372093\text{ cm}^2}{l}\cdot h. \)
L'altezza \(h\) può essere sostituita con \(\dfrac{3}{2}l\) utilizzando il dato 2 del problema:
\(A_{totale} = 2\cdot 480\text{ cm}^2 + \dfrac{1395,3488372093\text{ cm}^2}{l}\cdot\dfrac{3}{2}l \)
Possiamo osservare che il lato \(l\) si semplifica nell'operazione di moltiplicazione perchè si trova sia al numeratore che al denominatore, quindi otteniamo:
\(A_{totale} = 960\text{ cm}^2 + 1395,3488372093\text{ cm}^2\cdot \dfrac{3}{2} = 3053,02325581395\text{ cm}^2; \)
CALCOLO VOLUME PRISMA
Per calcolare il volume del prisma è necessario conoscere l'altezza \(h\) che a sua volta è legata al lato del pentagono \(l\), quindi dobbiamo calcolare il lato \(l\). Per fare ciò utilizziamo la formula inversa per il calcolo dell'area del pentagono ricordando che il perimetro di un pentagono è uguale a \(5\cdot l \) perchè i lati sono tutti uguali, quindi:
\(P_{base} = \dfrac{2\cdot A_{base}}{a}; \)
\(5\cdot l = \dfrac{2\cdot 480\text{ cm}^2}{l\cdot 0.688} \Rightarrow l^2 = \dfrac{2\cdot 480\text{ cm}^2}{5\cdot 0.688};\)
\(l = \sqrt{\dfrac{2\cdot 480\text{ cm}^2}{5\cdot 0.688}}=16,7053813916911\text{ cm}; \)
di conseguenza:
\(h = \dfrac{3}{2}\cdot l= \dfrac{3}{2}\cdot 16,7053813916911\text{ cm} = 25,0580720875367\text{ cm};\)
Il volume del prisma è:
\(V_{prisma}=A_{base}\cdot h=480\text{ cm}^2\cdot 25,0580720875367\text{ cm}=12027,8746020176\text{ cm}^{3}.\)