Problema Prisma Regolare Pentagonale (Calcolo area laterale e totale)
Calcola l'area della superficie laterale e totale di un prisma pentagonale regolare alto 18 cm, sapendo che lo spigolo di base misura 12 cm.
Scriviamo i dati del problema facendo riferimento alla seguente figura:
- \(l = 12\text{ cm}\) (spigolo di base);
- \(h = 18\text{ cm}\) (altezza prisma);
Il problema ci chiede di calcolare l'area laterale (\(A_{laterale}\)) e totale (\(A_{totale}\)) del prisma. L'area totale può essere calcolata utilizzando la seguente formula:
\(A_{totale}=2\cdot A_{base} + A_{laterale}.\)
Per calcolare l'area totale abbiamo quindi bisongo sia dell'area di base (\(A_{base}\)) che dell'area laterale (\(A_{laterale}\)).
CALCOLO AREA LATERALE
Cominciamo a calolare l'area laterale utilizzando la seguente formula:
\(A_{laterale} = P_{base} \cdot h\),
dove l'unico dato che non abbiamo è il perimetro del pentagono \(P_{base}\), che però possiamo calcolare facilmente ricordando che il perimetro di un pentagono regolare si ottiene moltiplicando un lato per 5:
\(P_{base} = 5\cdot l = 5\cdot 12\text{ cm} = 60\text{ cm}.\)
Pertanto:
\(A_{laterale}= P_{base} \cdot h = (60\cdot 18)\text{ cm}^2 = 1080\text{ cm}^2. \)
CALCOLO AREA BASE
Per calcolare l'area di base (\(A_{base}\)) del pentagono è necessario calcolare prima l'apotema che, nel caso del pentagono, è legata al lato dalla seguente relazione:
\(a=l\cdot 0.688 = 12\cdot 0.688\text{ cm} = 8,256\text{ cm}.\)
L'area del pentagono regolare si calcola moltiplicando il perimetro per l'apotema e dividendo il risultato per 2:
\(A_{base}=\dfrac{P_{base}\cdot a}{2}=\dfrac{(1080 \cdot 8,256)\text{ cm}^2}{2}=4458,24\text{ cm}^2.\)
CALCOLO AREA TOTALE
Adesso possimao calcolare l'area totale:
\(A_{totale}=2\cdot A_{base} + A_{laterale}=2\cdot 4458,24\text{ cm}^2 + 1080\text{ cm}^2= 9996,48.\)