Problema - Triangolo rettangolo con un angolo di 30° (Calcolo perimetro e area)
Nel triangolo rettangolo ABC un angolo acuto misura 30°. Sapendo che l'ipotenusa CA misura 10 cm, calcola il perimetro e l'area del triangolo.
Scriviamo i dati del problema facendo riferimento alla seguente figura:
- \(\hat{a} = 30^{\circ};\)
- \(\hat{b} = 90^{\circ};\)
- \(\overline{AC} = 10\text{ cm};\)
Utilizzando questi dati calcoliamo il perimetro (\(P_{ABC}\)) e l'area (\(A_{ABC}\)) del triangolo \(ABC\).
Cominciamo con l'osservare che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, per cui l'angolo \(\hat{c}\) lo si può calcolare così:
\(\hat{c} = 180^{\circ} - (\hat{a} + \hat{b}) = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 90^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}.\)
Il triangolo \(ABC\) è rettangolo e rientra nella categoria dei triangoli particolari con angoli acuti di 30° e 60°, per i quali il cateto \(\overline{BC}\) opposto all'angolo acuto di 30° sarà la metà dell'ipotenusa \(\overline{AC}\), mentre il cateto \(\overline{AB}\) opposto all'angolo acuto di 60° sarà \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\overline{AC}\). Per cui:
\(\overline{BC} = \dfrac{\overline{AC}}{2} = \dfrac{10\text{ cm}}{2} = 5\text{ cm};\)
\(\overline{AB} =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\overline{AC} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}10\text{ cm}= 3,4641\text{ cm};\)
A questo punto possiamo calcolare il perimetro:
\(P_{ABC} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{AC} = (3,4641 + 5 + 10) \text{ cm} = 18,4641 \text{ cm};\)
e l'area:
\(A_{ABC} = \dfrac{\overline{AB}\cdot\overline{BC}}{2}= \dfrac{\left(3,4641\cdot 5\right)\text{ cm}^2}{2}=8,66025\text{ cm}^2 \)