Il volume di un prisma retto avente per base un trapezio rettangolo è 10350 cm^3 . Calcola l'area totale del solido sapendo che il trapezio ha le basi e l'altezza lunghe rispettivamente 55 cm, 20 cm e 12 cm.
Scriviamo i dati del problema facendo riferimento alla seguente figura:
CALCOLO AREA DI BASE (area trapezio)
L'area del trapezio di base si calcola nel seguente modo:
\(A_{trapezio} = \dfrac{\left( AB + CD \right) \cdot AD}{2};\)
\(A_{trapezio}=\dfrac{\left( 55\text{ cm} + 20\text{ cm} \right)\cdot 12\text{ cm}}{2} = 450\text{ cm}^2.\)
CALCOLO AREA LATERALE
L'area laterale di un prisma si calcola moltiplicando il perimetro della base per l'altezza del trapezio:
\(A_{laterale} = P_{trapezio}\cdot h\)
Per calcolare il perimetro di base ci manca la misura del lato obliquo \(BC\).
Considerando che:
\(BK = AB - CD = \left(55-20\right)\text{ cm}=35\text{ cm}\),
possiamo calcolare \(BC\) utilizzando il teorema di Pitagora (il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti):
\(BC = \sqrt{CK^2 + BK^2}\);
\(BC=\sqrt{\left(12^2 + 35^2\right)\text{ cm}^2} = \sqrt{\left(1369\right)\text{ cm}^2} = 37\text{ cm}\).
Di conseguenza il perimetro del trapezio è:
\(P_{trapezio} = AB + BC + CD + AD;\)
\(P_{trapezio} = \left(55 + 37 +20 + 12\right)\text{ cm} = 124\text{ cm}.\)
Per quanto riguarda l'altezza \(h\) del prisma, essa può essere calcolata utilizzando la formula inversa per il calcolo del volume:
\(V=A_{trapezio}\cdot h \Rightarrow h = \dfrac{V}{A_{trapezio}} = \dfrac{10350\text{ cm}^3}{450\text{ cm}^2} = 23\text{ cm}.\)
Pertanto, l'area laterale del prisma sarà:
\(A_{laterale} = P_{trapezio}\cdot h = \left(124\cdot 23\right)\text{ cm}^2 = 2852\text{ cm}^2.\)
CALCOLO AREA TOTALE
\(A_{tot} = A_{laterale} + 2\cdot A_{trapezio} = \left(2852 + 2\cdot 450\right)\text{ cm}^2 = 3752\text{ cm}^2. \)