Problema - Trapezio isoscele con diagonale perpendicolare a lato obliquo (calcolo perimetro e area)
Un trapezio isoscele, con la diagonale perpendicolare al lato obliquo, ha le basi rispettivamente di 25 cm e 7 cm. Calcola perimetro e area.
Scriviamo i dati del problema facendo riferimento alla seguente figura:
- \(A\hat{C}B = A\hat{D}B = 90^{\circ};\)
- \(AB = 25\text{ cm} -\text{base maggiore del trapezio};\)
- \(CD = 7\text{ cm} -\text{base minore del trapezio};\)
CALCOLO ALTEZZA DEL TRAPEZIO
Utilizzando i dati 2. e 3. possiamo subito calcolare il segmento \(BK\). Dato che il trapezio \(ABCD\) è isoscele risulta che \(BK = AH\), per cui:
\(BK = \dfrac{AB-DC}{2} = \dfrac{25\text{ cm} - 7\text{ cm}}{2} = \dfrac{18\text{ cm}}{2}=9\text{ cm};\)
Il segmento \(AK\) può essere calcolato come differenza tra la base maggiore \(AB\) e \(BK\):
\(AK = AB - BK = 25\text{ cm} - 9\text{ cm} = 16\text{ cm};\)
A questo punto, per trovare l'altezza del trapezio \(ABCD\), possiamo utilizzare il secondo teorema di Euclide (in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa) ed applicarlo al triangolo rettangolo \(ABC\). Segue che:
\(AK : CK = CK : BK;\)
\(CK^2=AK\cdot BK=16\text{ cm}\cdot 9\text{ cm}=144\text{ cm}^2;\)
\(CK = \sqrt{144\text{ cm}^{2}} = 12\text{ cm};\)
CALCOLO AREA DEL TRAPEZIO
L'area del trapezio si calcola moltiplicando la somma delle due basi per l'altezza e dividendo il risultato per 2:
\(A_{ABCD} = \dfrac{(AB+CD)\cdot CH}{2} = \dfrac{(25\text{ cm}+7\text{ cm})\cdot 12\text{ cm}^{2}}{2}=192\text{ cm}^{2}\)
CALCOLO PERIMETRO DEL TRAPEZIO
Per calcolare il perimetro del trapezio \(ABCD\), è necessario calcolare il lato obliquo. Applicando il primo teorema di Euclide (in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa) al triangolo rettangolo \(ABC\), possiamo scrivere:
\(BK: BC = BC : AB;\)
\(BC^2 = BK\cdot AB;\)
\(BC^2 = (9\cdot 25)\text{ cm}^2 = 225\text{ cm}^2;\)
\(BC = \sqrt{225\text{ cm}^2} = 15\text{ cm}.\)
Siccome il trapezio ABCD è isoscele:
\(AD = BC =15\text{ cm}.\)
Segue che il perimetro del trapezio è:
\(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = (25 + 15 + 7 + 15)\text{ cm} = 62\text{ cm}.\)