In un trapezio rettangolo la diagonale minore è perpendicolare al lato obliquo e misura 26 m. Calcola il perimetro del trapezio sapendo che il lato obliquo è lungo 19,5 m.
Scriviamo i dati facendo riferimento alla seguente figura:
CALCOLO BASE MAGGIORE \(AB\)
La base maggiore \(AB\) può essere calcolata applicando il teorema di Pitagora (il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti) al triangolo rettangolo \(ABC\):
\(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{\left(26^2+19,5^2\right)\text{ m}^2} = \sqrt{\left(676+380,25\right)\text{ m}^2} = 32,5\text{ m}.\)
CALCOLO \(AH \) (proiezione del cateto \(AC\) sull'ipotenusa \(AB\))
Per calcolare \(AH\) applico il primo teorema di Euclide (in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa) al triangolo rettangolo \(ABC\). Nel nostro caso il cateto considerato è \(AC\), mentre la sua proiezione sull'ipotenusa è \(AH\), quindi possiamo scrivere che:
\(AB : AC = AC : AH \Rightarrow AH =\dfrac{AC^2}{AB} = \dfrac{\left(26\text{ m}\right)^{2}}{32,5\text{ m}} = \dfrac{676\text{ m}^2}{32,5\text{ m}} = 20,8\text{ m}. \)
Per costruzione sappiamo che \(CD=AH=20,8\text{ m}\).
CALCOLO ALTEZZA \(CH\)
Per poter calcolare \(CH\) è necessario conoscere prima il segmento \(BH\) che può essere calcolato facilmente sottraendo all'ipotenusa \(AB\) il segmento \(AH\):
\(BH = AB - AH = \left(32,5 - 20,8\right)\text{ m}=11,7\text{ m}.\)
Per calcolare \( CH\) applico il secondo teorema di Euclide (in un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa) al triangolo rettangolo \( ABC\). Nel nostro caso le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa sono \(AH\) e \(BH\), quindi possiamo scrivere che:
\(AH : CH = CH : BH \Rightarrow CH^2 = AH \cdot BH;\)
\(CH = \sqrt{AH\cdot BH} = \sqrt{\left(20,8\cdot 11,7\right)\text{ m}^2}=15,6\text{ m}\).
Per costruzione sappiamo che \(AD=CH =15,6\text{ m}.\)
CALCOLO PERIMETRO TRAPEZIO
Adesso abbiamo tutti i dati necessari per calcolare il perimetro del trapezio \(ABCD\):
\(P_{ABCD} = AB+ BC + CD + AD = \left(32,5+19,5+20,8+15,6\right)\text{ m}=88,4\text{ m}.\)