Matematica

Indichiamo con $f(x,y)={\displaystyle \frac{x^2{y}^2}{2x^4+y^2}}$la funzione a due variabili di cui vogliamo calcolare il limite nel punto $(x_0=0,y_0=0)$.

Ricordando il teorema delle restrizioni, calcoliamo il limite usando come restrizione il fascio di rette passante per il punto $(x_0,y_0)$, cioè $y=mx$:

$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{x^2{m}^2{x}^2}{2x^4+m^2{x}^2}}=\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{m^2}{2+{\displaystyle \frac{m^2}{x^2}}}}=0$

Poichè il limite della restrizione è uguale a 0 e quindi non dipende da $m$, il risultato potrebbe essere quello giusto ma dobbiamo dimostrare che esiste. Per dimostrare l'esistenza dobbiamo trovare una funzione positiva $h(x,y)$ che soddisfa due condizioni:

1. $|f(x,y)-l|\le h(x,y)$
2. $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}h(x,y)=0$

dove in questo caso $l$ è il valore del limite trovato ed è quindi uguale a 0.
Notiamo che $|f(x,y)|=\left|{\displaystyle \frac{x^2{y}^2}{2x^4+y^2}}\right|$ e $y^2\le 2x^4+y^2$ ,

per cui si ha che ${\displaystyle \frac{y^2}{2x^4+y^2}}\le 1$, per ogni $(x,y)\ne (0,0)$.

Quindi, se consideriamo $h(x,y)=x^2$ le due condizioni sono soddisfatte:

1. $\left|x^2{\displaystyle \frac{y^2}{2x^4+y^2}}\right|\le x^2$
2. $li{m}_{(x,y)\to (0,0)}{x}^2=0$

Pertanto, possiamo concludere che il limite esiste ed è uguale a 0.