Matematica

Dati del problema

• Il quadrilatero ABCD è inscritto in una circonferenza, di centro O.

• La diagonale AC è diametro della circonferenza.

• I lati CD e DA sono congruenti: CD = DA.

• Il lato BC è la metà di AC:  \(BC = \frac{1}{2}AC.\)

Vogliamo trovare le ampiezze degli angoli interni del quadrilatero:\( \angle A, \angle B, \angle C, \angle D\)

1. CONSIDERAZIONI GENERALI

Quadrilatero inscritto

In un quadrilatero inscritto in una circonferenza la somma degli angoli opposti è sempre \(180^\circ\):

\(\angle A + \angle C = 180^\circ \quad \text{e} \quad \angle B + \angle D = 180^\circ \)

AC è diametro

Questo è importante, perchè in un cerchio l’angolo alla circonferenza che insiste su un diametro è retto, pertanto i due angoli che insistono sul idamoetro, cioè 

\( \angle B = \angle D = 90^\circ \)

2. APPLICHIAMO LE INFORMAZIONI

Usando la proprietà del quadrilatero inscritto:

\(\angle A + \angle C = 180^\circ \quad \text{e} \quad \angle B + \angle D = 180^\circ\)

E siccome \(\angle B = \angle D = 90^\circ\)∘, queste condizioni sono soddisfatte:

\(\angle B + \angle D = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Quindi ci restano:

• \(\angle A = ?\)

• \(\angle C = ?\)

3. USIAMO LA SIMMETRIA CD = DA

I lati CD e DA sono uguali, quindi il triangolo CDA è isoscele, con:

• CD = DA 

• \(\angle DCA = \angle DAC\)

Sappiamo anche che \(\angle D = 90^\circ\), e si trova nel triangolo CDA, quindi possiamo usare la somma degli angoli interni del triangolo:

\(\angle DAC + \angle DCA + \angle D = 180^\circ\)

\(\angle DAC + \angle DCA + 90^\circ = 180^\circ\)

\(\angle DAC + \angle DCA = 90^\circ\)

 Ma \(\angle DAC = \angle DCA,\) quindi: 

\(\angle DAC = \angle DCA = 45^\circ\)

Quindi:

•  

  \(\angle A = \angle DAC = 45^\circ \)

  \(\angle C = \angle DCB = 180^\circ - \angle A = 135^\circ\)

Verifica:

• \(\angle A + \angle C = 45^\circ + 135^\circ = 180^\circ\)

• \(\angle B + \angle D = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\) 

4. Risultato finale

Le ampiezze degli angoli del quadrilatero ABCD sono:

• \(\angle A = 45^\circ\)

• \(\angle B = 90^\circ\)

• \(\angle C = 135^\circ\)

• \(\angle D = 90^\circ\)